Question

已知函数f（x）=x2-x+alnx在x=32处取得极值．（1）求曲线y=f（x...

已知函数f（x）=x2-x+alnx在x=32处取得极值． （1）求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程． （2）求函数的单调区间．

Answer 1

解：（1）f′(x)=2x-1+ax=2x2-x+ax，
∵f(x)在x=32处取得极值，∴f′(32)=0，
∴2×(32)2-32+a=0，∴a=-3，经检验符合题意，
∴f′（x）=2x2-x-3x，
∴切线的斜率k=f′（1）=-2
则曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1），即2x+y-2=0；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当f′(x)=2x2-x-3x＞0，可得x＞32时，函数递增；
当f′（x）=2x2-x-3x＜0，可得0＜x＜32时，函数递减，
则f（x）的单调递增区间为(32，+∞)，单调递减区间为(0，32)．