Question

若函数f(n)=sinnπ/6,求f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2008)的值

Answer 1

由
sin(2nπ+a)
=
sina可知
f(1)
=
f(13)
=
f(25)
=
......=f(12*n
+
1)
n最大为
2008/12
=
167
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2008)
=
(167
-
1)*(f(1)+f(2)+f(3)+...f(11))
+
f(12*167+1)+f(12*167+2)+f(12*167+3)+(12*167+4)
由f(12*n
+
1)
=
f(1)
可知:f(12*167+1)
=
f(1)
f(12*167+2)
=
f(2)
f(12*167+3)
=
f(3)
f(12*167+2)
=
f(4)
转化后得到:
=
(167
-
1)*(f(1)+f(2)+f(3)+...f(11))
+
f(12*167+1)+f(12*167+2)+f(12*167+3)+(12*167+4)
=166*(f(1)+f(2)+f(3)+...f(11))
+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
其中f(1)+f(2)+f(3)+...f(11)在可以计算得到为
0
所以最终结果就是f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
=
sinπ/6+sinπ/3+sinπ/2+sinπ2/3
证明
f(n)=f(n+12):
f(n)
=
sinnπ/6
f(n+12)
=
sin(n+12)π/6=sin(nπ/6+2π)
由sin(2nπ+a)
=
sina可知
sin(2π+nπ/6)
=
sinnπ/6
sin(2nπ+a)
=
sina
这个总知道为什么吧.