Question

已知函数f(x)=e^x-a/x,g(x)=alnx+a.(1)a=1时，求F(x)=f(x)-g(

已知函数f(x)=(e^x-a)/x,g(x)=alnx+a.(1)a=1时，求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间

Answer 1

即求x>1时，总有(e^x-a)/x>alnx
a成立
即总有e^x-a>ax(lnx
1)成立
即总有e^x>a[xlnx
x
1]成立
(1)
∵x>1时，xlnx
x
1>2
∴当a<0时，不等式显然成立
欲使不等式(1)在a>0时成立，首先要保证x>1时，左边的增长率要大于右边的增长率
即要有(e^x)'=e^x>{a[xlnx
x
1]}'=a(lnx
1
1)=a(lnx
2)
(2)
上述不等式成立的条件是，不等式两边再取导数时，不等式依然成立
即不等式(2)成立的条件，也要左边的增长率要大于右边的增长率
即要有(e^x)'=e^x>[a(lnx
2)]'=a/x
当x>1时，有e^x>e,
a>a/x
欲使上述不等式成立，只需保证e≥a即可
即a≤e时，可保证不等式(1)左边的增长率大于右边的增长率
在保证增长率的前提下，只需保证在x=1时，左边的函数值不小于右边函数值即可
即当x=1时，令e≥a*[0
1
1]=2a即可
解得a≤e/2
综合可得，a的取值范围为a≤e/2