Question

直角坐标下的二重积分如何转化为极坐标下的二重积分

比如这道题，角度好确定，p的范围怎么确定，极坐标高中时候没学，希望能讲的通俗易懂 谢谢

Answer 1

二重积分计算中，当积分区域为圆域或与圆密切相关时，往往用极坐标能简化计算。但并不是任何区域都适用。如本题目，积分区域为正方形，由x轴，y轴，直线x=1，y=1围成，一般情况下用累次积分更方便。若化为极坐标，需要对积分区域进行分割，再相加。即
直角坐标化为极坐标的通式为：x=rcosθ，y=rsinθ。其中θ称为极角，r称为极径。
因为极径的积分上限不同，一个是直线x=1，即rcosθ=1，得r=1/cosθ；另一个是直线y=1，即rsinθ=1，得r=1/sinθ。
直线x=1与y=1交于点（1，1），化为极坐标时，将原正方形区域分割为两个三角形区域，分割线为直线y=x，其极坐标方程为θ=π/4。所以，对应上述不同极径的极角界限就为（0，π/4）和（π/4，π/2）。
当然，化为极坐标时，被积函数必须同时消去x，y而用x=rcosθ，y=rsinθ代入。特别注意积分微元必须由dxdy变为rdθdr，不能忘记有一个r。
二重积分的极坐标变换熟悉后，对三重积分中的柱坐标与球坐标变换就容易理解与处理一些。
关于极坐标更详细的介绍与讲解，可参考相关教材或网络上的资料，此处省略。