Question

二阶微分方程积分

急.这种“2阶”的微分方程怎么积啊?
d2y
---=y
dx2
大概说下积分的方法就可以了 普通一阶的微分方程我会算
两个2都是上标 前面的是个分式 等于Y
帮忙解下这个方程 写下过程谢谢。。

Answer 1

方法1
设 dy/dx=p
则 d^2y/dx^2=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=pdp/dy
原方程可化为
pdp/dy=y
所以 pdp=ydy
所以p=√(y^2+C)
即dy/dx=√(y^2+C)
dy/√(y^2+C)=dx
两边积分
ln|y+√(y^2+C1)|=x+C2
y+√(y^2+C1)=e^(x+C2)
√(y^2+C1)=e^(x+C2)-y
两边平方化简得 y=C1*e^x+C2*e^(-x)
方法2套公式
y''=y
为二阶常系数其次微分方程
即y''-y=0
因为r^2-1=0解得r1=1或r2=-1
所以y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
即y=C1*e^x+C2*e^(-x)