Question

高中数学导函数的问题

向左转|向右转 这道题的第二问，应该怎么理解？是这个条件要恒成立吗？还是只要存在成立就可以了？用归纳法要怎么证明？

Answer 1

f(x)=ln(x+1)-ax/(x+a)
(a>1)
f(x)=ln(x+a)/lnx,a=1时,求f(x)的单调区间
解：a=1时f(x)=ln(x+1)/lnx；定义域：x>0且x≠1；
由于f
'(x)=[(lnx)/(x+1)-(1/x)ln(x+1)]/ln²x=[xlnx-(x+1)ln(x+1)]/[x(x+1)ln²x]<0
在其定义域x>0内恒成立，因此f(x)在(0，1)∪(1，+∞)内都单调减。
x→0limf(x)=x→0lim[ln(x+1)/lnx]=0；
x→1⁻limf(x)=x→1⁻lim[ln(x+1)/lnx]=-∞；
x→1⁺limf(x)=x→1⁺lim[ln(x+1)/lnx]=+∞;
x→+∞limf(x)=x→+∞lim[ln(1/x)/lnx]=x→+∞lim[x/(x+1)]=1.