Question

已知△abc中,ab=bc,在rt△ade中

已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM． （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。

Answer 1

（1）BM=DM ，BM⊥DM 证明：在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点， ∴ ∴ ∠EMB=2∠ECB 在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点 ∴ ∴ ∠EMD=2∠ECD ∴ BM=DM，∠EMD+∠EMB =2（∠ECD+∠ECB） ∵ ∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°，∴ ∠BMD=2∠ACB=90° 即BM⊥DM （2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立 证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF 连结BF、FC，延长ED交AC于点H ∵ DM=MF，EM=MC， ∴ 四边形CDEF是平行四边形 ∴ DE∥CF ，ED =CF ∵ ED= AD ∴ AD=CF ∵ DE∥CF ∴∠AHE=∠ACF ∵ ∴ ∠BAD=∠BCF 又∵AB= BC，∴ △ABD≌△CBF ∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF ∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC， ∴∠DBF=∠ABC =90° 在Rt△ 中，由 , 得BM=DM 且BM⊥DM