Question

有下列命题：①函数y=ax2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0；②函数y=f（...

有下列命题： ①函数y=ax2+bx+c为偶函数的充要条件是b=0； ②函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称； ③b=ac是a，b，c成等比的必要不充分条件； ④若函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则c的值为2或6； ⑤y=sinx+1sinx（0＜x＜π2）的最小值是2． 其中正确命题的序号是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

解：①函数y=f（x）=ax2+bx+c为偶函数⇔f（-x）=a（-x）2+b（-x）+c=ax2+bx+c=f（x）⇔b=0，故①正确；
②函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）的图象关于直线x=0对称；
理由是：函数y=f（a+x）的自变量是x，而不是a+x；同理函数y=f（a-x）的自变量是x，而不是a-x．当前一个函数y=f（a+x）自变量取-x时，函数值为f（a-x），因此函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）关于y轴，即x=0对称，故②错误；
③b=ac是a，b，c成等比的既不充分也不必要不条件，
当a=b=c=0时，满足0=0•0，但a，b，c不成等比，充分性不成立；
若a，b，c成等比，则b2=ac，b=±ac，必要性不成立，故③错误；
④∵f（x）=x（x-c）2，∴f′（x）=（x-c）2+2x（x-c）=（x-c）（3x-c），
由f′（x）=0得x=c或x=13c，
当c＞0时，由f′（x）＞0，得x＜13c，或x＞c，即y=f（x）在区间（-∞，13c）上单调递增，在区间（13c，c）上单调递减，
∴当x=13c时，取得极大值，依题意，13c=2，解得c=6；
当c＜0时，同理可得x=c时，取得极大值，依题意，c=2，这与c＜0矛盾，故④错误；
⑤∵0＜x＜π2时，0＜sinx＜1，
令t=sinx，（0＜t＜1），
由双钩函数y=t+1t的性质可知，y=t+1t在（0，1）上单调递减，
∴当0＜x＜π2时，y=sinx+1sinx＞2，无最小值，故⑤错误．
综上所述，正确命题的序号是①．
故答案为：①．