Question

求幂级数的和函数的问题

1、这类题目的核心思路是什么？
2、分为哪些步骤？
3、最不好处理的地方是什么？
4、有哪些技巧？
为什么要采取逐项求导然后再逐项积分这种方式？这样对解题有什么特别的帮助吗？

Answer 1

1、这类题目的核心思路是什么？
这类题目的核心思路是设法将幂级数化为你所熟悉的几何级数，比如公比为x，首项为1等等诸如此类的几何级数，很方便能求出它的和。
而为达到此目的，通常需要采取逐项求导（积分）然后再积分（求导），并且只有在收敛区间内才能做以上运算。

2、分为哪些步骤？
通常，首先求出幂级数的收敛半径，收敛区间
如果幂级数有n、(n+1)等系数时，需要先将级数逐项积分，约掉这些系数，就可能化为几何级数了，然后求其和。当然，与积分对应的，一定记得将来对这个级数的和再求导数。
同理，如果幂级数有 1/n、1/(n+1)等系数时，需要先将级数逐项求导，也是为了约掉这些系数，化为几何级数，然后求其和。只是将来对这个级数的和再求积分。
总之，有一次求导，将来就要对应一次积分，反之也一样。因为我们可以把求导和积分看成逆运算，这样做的目的是要将级数还原。

3、最不好处理的地方是什么？
最不好处理的地方是有时候求一次导数（或积分）还不够，需要对其结果再化简，可能会提出一个因子等等，然后继续求导（或积分）

4、有哪些技巧？
关于技巧这种东西不针对具体题目很难表述清楚，理解了为什么要用上面的步骤来求和函数，可以说就掌握了技巧。

Answer 2

　　1、这类题目的核心思路是什么？
　　这类题目的核心思路是设法将幂级数化为你所熟悉的几何级数，比如公比为x，首项为1等等诸如此类的几何级数，很方便能求出它的和。
　　而为达到此目的，通常需要采取逐项求导（积分）然后再积分（求导），并且只有在收敛区间内才能做以上运算。

　　2、分为哪些步骤？
　　通常，首先求出幂级数的收敛半径，收敛区间
　　如果幂级数有n、(n+1)等系数时，需要先将级数逐项积分，约掉这些系数，就可能化为几何级数了，然后求其和。当然，与积分对应的，一定记得将来对这个级数的和再求导数。
同理，如果幂级数有 1/n、1/(n+1)等系数时，需要先将级数逐项求导，也是为了约掉这些系数，化为几何级数，然后求其和。只是将来对这个级数的和再求积分。
　　总之，有一次求导，将来就要对应一次积分，反之也一样。因为我们可以把求导和积分看成逆运算，这样做的目的是要将级数还原。

　　3、最不好处理的地方是什么？
　　最不好处理的地方是有时候求一次导数（或积分）还不够，需要对其结果再化简，可能会提出一个因子等等，然后继续求导（或积分）

　　4、有哪些技巧？
　　关于技巧这种东西不针对具体题目很难表述清楚，理解了为什么要用上面的步骤来求和函数，可以说就掌握了技巧。

Answer 3

你的前三个问题我都无法回答，因为求和函数的问题看上去都一样，但是里面又有很多的方法，针对不同的题会有不同的方法，不同的思路、步骤和难点，所以我只能列举一些常见的类型和办法，当中就蕴含你提出的第四个问题。

一、最基本的方法是找出部分和函数通项公式（包括裂项求和、因式分解、将函数列拆成几个函数列的和等等），然后求极限就可以了。但是由于几乎所有的题都不会2到这种程度，所以这只是一个理论上的办法。

二、利用先求导再积分，或者先积分再求导的办法。这种办法适合求一些通项的导函数（积分）容易看出，并且导函数（积分）的和比较好算的时候。这好像也是最常用的办法。有些比较麻烦的题，需要求二阶以上的导数或者积分，要注意的是千万别算错了。

下面是两种技巧性比较强的办法，并且需要更深的数学功底：

三、建立微分方程，并求解微分方程。这个办法一开始还是要用到先求导再积分或者先积分再求导，可能求完以后，和函数仍然很不容易看出，但是如果能看出原级数和求完导之后的级数之间的一些联系，比如说建立了等式，那么相当于就构建了常微分方程，再解这个常微分方程，就能得出结果。

四、利用复变函数。有一些函数级数当中会出现比较烦人的sin，cos等三角函数，不管怎么求导和积分，都不太可能出现明显的和函数，并且原函数级数和变换以后的级数没有明显关系，就可能要用到复变函数了。通常的办法是将sin（f（x）），cos（f（x））分别化成exp（if（x））的虚部和实部，然后利用e^x的幂级数（洛朗级数）的展开式及其相关性质进行运算得到结果。

还要特别提到的是函数项级数求和必须注意收敛半径是什么。一般利用幂级数收敛半径公式或者复函数的解析性定理的来确定，再求出结果后千万别忘了写收敛半径。另外，再求导、积分的过程中要注意的是级数能不能满足逐项求导和逐项积分的条件，这也是很重要的。

先写这么多吧。

Answer 4

核心思路 ： 变形→→求解→→还原。（例子都简单，只为说明思路。）

① S＝1+x+x²+x³+…………，xS＝x+x²+x³+……，

（1-x）S＝1, S＝1/（1-x）[|x|＜1] 这是找出关于S的代数方程。中学生常用

② S＝1+x+x²/2+x³/3+…………，S′＝1+x+x²+……＝1/（1-x）

∴S＝∫[0,x]（1/（1-x））dx+1＝1-㏑（1-x） [|x|＜1]

③ S＝1+2x+3x²+4x³+……， ∫[0,x]S dx＝x+x²+x³+……＝x/（1-x）

∴S＝[∫[0,x]S dx]′＝[x/（1-x）]＝1/（1-x）² [|x|＜1]

④ S＝1+x+x²/2!+x³/3!+……，S′＝S, dS/S＝dx, ㏑S＝x, S＝e^x

这是找出关于S的微分方程。

[其实①②③④都是找出关于S的“方程”，重要的是多做一些题，已知面扩大，

方法会更多。]

Answer 5

我有一个自己整理的资料，是我考研的时候复习整理的，觉得很好用，就是幂级数求和这部分内容，如果你需要，我可以扫描给你看。

资料我是从比较基础的知识点开始整理的。因为本科教学大纲这部分貌似是不需要的。所以我自己整理的。