设an不等于0.证明liman=0的充要条件是
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充分性:
设lim(x→x0-)f(x)=a,根据极限的定义
对任意e>0,存在δ>0,当x0-δ|f(x)-a|同理,当x0|f(x)-a|于是对任意x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),|f(x)-a|即当0<|x-x0|<δ时|f(x)-a|
必要性:
设lim(x→x0)f(x)=a,则对任意e>0,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时
|f(x)-a|而当x0-δ故|f(x)-a|同理可证lim(x→x0+)f(x)=a
∴左右极限等
设lim(x→x0-)f(x)=a,根据极限的定义
对任意e>0,存在δ>0,当x0-δ|f(x)-a|同理,当x0|f(x)-a|于是对任意x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),|f(x)-a|即当0<|x-x0|<δ时|f(x)-a|
必要性:
设lim(x→x0)f(x)=a,则对任意e>0,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时
|f(x)-a|而当x0-δ故|f(x)-a|同理可证lim(x→x0+)f(x)=a
∴左右极限等
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