Question

已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周...

已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π16]上的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx，
∴f（x）=sinωxcosωx+1+cos2ωx2
=12sin2ωx+12cos2ωx+12
=√22sin（2ωx+π4）+12
由于ω＞0，依题意得2π2ω=π，
所以ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=√22sin（2x+π4）+12，
∴g（x）=f（2x）=√22sin（4x+π4）+12
∵0≤x≤π16时，π4≤4x+π4≤π2，
∴√22≤sin（4x+π4）≤1，
∴1≤g（x）≤1+√22，
g（x）在此区间内的最小值为1．