Question

数学归纳法有依据嘛

Answer 1

关键在于皮亚诺公理，公理可以不太严谨地描述成以下的几条：

0是自然数
每个自然数都有且仅有一个后继，不同自然数的后继不同；
没有任何自然数的后继为0
如果一个自然数的子集满足：0在集合内；任何集合内数的后继都在集合内；则这个子集就是所有自然数
可以看到最后一条直接导致了第一数学归纳法的成立。这是皮亚诺公理的一部分，意味着数学归纳法的有效性不可以通过任何其他公理来推导得到。

还有第二数学归纳法，第二数学归纳法可以通过构造命题列 [公式] 来转换为第一数学归纳法，所以也是直接依赖于皮亚诺公理的。

其实题主这个问题很好，数学归纳法从原理上来说并没有那么显然，过去我们可以证明的命题都是有固定数量的步骤的，已知有限多个命题，然后通过固定的步骤证明其中某个命题；而数学归纳法则一次证明了无限多个命题。这其中靠的就是皮亚诺公理。所以觉得不是很严谨其实说明你的直觉是很敏锐的。

有些人认为数学归纳法可以靠构造一步一步递增的证明过程（n=1，n=2，n=3……）来完成，这件事本身需要可计算性相关的理论，而这个理论是直接依赖于数学归纳法的。

引入归纳法可以让人们在数学中完成一次证明无穷多个命题这件事，但它也是双刃剑，根据哥德尔不完备定理，引入皮亚诺公理会导致数学体系中出现既不能被证明、也不能被证否的命题，这也侧面说明了数学归纳法其实是很不平凡的工具。