Question

大一高数 高阶导数？

Answer 1

(一).填空题：
(1)。y=(1+x²)arctanx；y'=2xarctanx+(1+x²)/(1+x²)=2xarctanx+1;
y''=2arctanx+[2x/(1+x²)];
(2)。y=ln[x+√(1+x²)]；y'=[1+x/√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]=1/√(1+x²);
y''=[-x/√(1+x²)]/(1+x²)=-x/√(1+x²)³；
(3)。y=xe^(x²)；y'=e^(x²)+2x²e^(x²)=(1+2x²)e^(x²);
y''=4xe^(x²)+2x(1+2x²)e^(x²)=(4x³+6x)e^(x²)；∴y''(1)=10e；
(4)。f(x)=(x+2)³; f'(x)=3(x+2)²；f''(x)=6(x+2)；f'''(x)=6，∴f'''(0)=6；
(5)。y=ln[f(x)]；y'=f'(x)/f(x)； y''=[f(x)f''(x)-(f'(x))²]/[f(x)]²;
(6)。y=xeⁿ；y'=eⁿ；y''=0；y'''=0；.......；y(ⁿ)=0；
(二)。设f(x)=xarctan(1/x²)，x≠0；f(x)=0,(x=0); 求f'(x)，并讨论f'(x)在x=0处的连续性。
解：f'(x)=arctan(1/x²)+x[(-2/x³)/[1+(1/x^4)]=arctan(1/x²)-2x²/(1+x^4); f'(0)=π/2;
又 f'(0)=∆x→0lim[f(0+∆x)-f(0)]/∆x=∆x→0lim[(∆x)arctan(1/∆x²)]/∆x
=∆x→0lim[arctan(1/∆x²)]=π/2;
∴f'(0)=x→0limf'(x)=π/2，即在x=0处f'(x)是连续的。

Answer 2

详情如图所示

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