Question

设Sn=1+1/2+1/3+1/4+.....+1/n(n>1,n属于N)，求证：Sn>1+n/2

Answer 1

一道类似题目：
已知Sn=1+1/2+1/3+.....+1/n(n>1,n为整数),求证S(2^n)>1+n/2(n>=2,n为整数)
【证明】
由题，只要证明
1/2+.....+1/2^n
>n/2(n>=2)
用数学归纳法
当n=2时，左边=1/2+1/3+1/4=13/12
。右边=2/2=1,左边>右边，成立
假设当n=m是时成立，即
1/2+.....+1/2^m
>m/2
则当n=m+1时有
1/2+.....+1/2^m
+1/(2^m+1)+...+1/(2^(m+1))
>m/2+1/(2^m+1)+...+1/(2^(m+1))>m/2+1/(2^(m+1))*(2^(m+1)-2^m)
=
m/2+1/(2^(m+1))*2^m=m/2+1/2=(m+1)/2=右边
由上述推导可得结论成立
【另法】
Sn=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n
则S(2^n)=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...+1/2^n
＞1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...+(1/2^n+1/2^n+...+1/2^n)
=1+1/2+1/2+1/2+...+1/2
=1+n/2