Question

用“p→q=~p∨q”证明：（p→q）∧（q→r）=> p→r

Answer 1

证:(p→q)∧（q→r）
=（~p∨q）∧（~q∨r）
=[~p∧（~q∨r）]∨[q∧（~q∨r）]
=[（~p∧~q)∨（~p∧r）]∨[(q∧~q）∨(q∧r）]
=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨0∨(q∧r）
=（~p∧~q)∨（~p∧r）∨(q∧r）
=（~p∧~q)∨[（~p∨q)∧r]
={~p∨[（~p∨q)∧r]}∧{~q∨[（~p∨q)∧r]}
={[~p∨(~p∨q)]∧（~p∨r）}∧{[~q∨（~p∨q)]∧(~q∨r)}
=[（~p∨q)∧（~p∨r）]∧1∧(~q∨r)
=[（~p∨q)∧（~p∨r）]∧(~q∨r)
=[（~p∨q)∧(~q∨r)]∧（~p∨r）
=[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）
即有
(p→q)∧（q→r）=[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）
所以
[(p→q)∧（q→r）]}∨（ p→r）
{[（p→q）∧（q→r）]∧（ p→r）}∨（ p→r）
={~[（p→q）∧（q→r）]}∨[~（ p→r）]∨（ p→r）
=1
即（p→q）∧（q→r）=> p→r 恒成立 证毕