Question

紧急！已知点P是椭圆x2/16+y2/8=1上的动点,若M是∠F1PF2

已知点P是椭圆x2/16+y2/8=1上的动点,F1,F2为两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且向量F1M*向量MP=0，则向量OM的取值范围是（？）

请附上详细步骤，麻烦了

Answer 1

解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，

∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，

连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1F2中点

∴|OM|=

1   

2   

|F2N|=

1   

2   

||PN|-|PF2||=

1   

2   

||PF1|-|PF2||∵在椭圆

x2   

16   

+

y2   

12   

=1(y≠0)中，设P点坐标为（x0，y0）

则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，

∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0+a-ex0|=|2ex0|=|x0|

∵P点在椭圆

x2   

16   

+

y2   

12   

=1(y≠0)上，∴|x0|∈[0，4]，

又∵当|x0|=4时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈[0，4）

∴|OM|∈[0，2）

故答案为[0，2）

Answer 2

见图