Question

求人求解两道高中数学题

第一题：求下列式子的通项an(n∈N*） ①a1=1,a n+1=an+2n ②a1=1,a n+1=(n/n+1)*an ③a1=1,a n+1=(1/2)*an+1 第二题:设两个数列｛an｝，｛bn｝满足bn=(a1+2a2+3a3+.......+nan)/(1+2+3+...+n),若｛bn｝为等差数列，求证｛an｝也为等差数列 （以上两题，a1,a2,.....an，a n+1中，a后面的数字均为a的底数，学过数列的朋友应该看得懂吧） 答得好我会加分，30是保底的！！！！！

Answer 1

(1)
a(n+1)-a(n)=2n
a(n)-a(n-1)=2n-2
...
a(2)-a(1)=2
全部累加得到：a(n+1)-a(1)=n(n+1)
所以a(n+1)=n^2+n+1，a(n)=n^2-n+1
(2)
a(n+1)/a(n)=n/(n+1)
a(n)/a(n-1)=(n-1)/n
...
a(2)/a(1)=1/2
全部累乘得到：a(n+1)/a1=1/(n+1)
a(n+1)=1/(n+1),
a(n)=1/n
(3)
因为a(n+1)-2=(1/2)[a(n)-2]
所以a(n+1)-2为等比数列，所以a(n)-2=(-1)(1/2)^(n-1)
a(n)=2-(1/2)^(n-1)
第二题
bn*(1+2+3+...+n)=bn*n(n+1)/2=a1+2a2+3a3+.......+nan
b(n+1)*(n+1)(n+2)/2=a1+2a2+3a3+.......+nan+(n+1)a(n+1)
等式相减得到
[(n+1)/2]{[b(n+1)-bn]n+2b(n+1)}=(n+1)a(n+1)
因为b(n+1)-b(n)=d,
b(n+1)=b1+nd，所以a(n+1)=(1/2)[nd+2b1+2nd]=b1+(3/2)nd
所以是等差数列