Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称.1.证明f(x)...

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称.1.证明f(x)是周期函数. 2.若f（x）=x（0＜x＜=1））求x∈R时函数f(x)的解析式.

Answer 1

（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称,
有f（x+1）=f（1-x）,即有f（-x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数,有f（-x）=-f（x）．故f（x+2）=-f（x）．
从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
由函数f（x）是定义在R上的奇函数
x∈(0,1],f(x)=x
x∈(-1,0],-x∈(0,1],f(-x)=-x=-f(x),得f(x)=x
x∈(-2,-1],x+2∈(0,1],f(x+2)=x+2=-f(x),得f(x)=-x-2
x∈(1,2],x-2∈(-1,0],f(x-2)=x-2=f(x-2+4)=f(x+2)=-f(x),得f(x)=-x+2
k∈z
x∈(4k-2,4k-1]时f(x)=-(x-4k)-2=-x-2+4k
x∈(4k-1,4k+1]时f(x)=x-4k
x∈(4k+1,4k+2]时f(x)=-(x-4k)+2=-x+2+4k