Question

三角函数已知 sin∠1＝(1/√10) tan∠BAF＝2 求证∠BAF—∠1＝45°

已知 sin∠1＝(1/√10) tan∠BAF＝2 求证∠BAF—∠1＝45°

Answer 1

首先，讨论范围：tan周期为180°，sin为360°，所以此题设两个角属于（0，360°）
又因为∠BAF大于∠1，而∠1正弦值大于0，所以若两个角在同一象限内，则必均为第一象限。
（否则这题目结论没有意义，∠1可以很大很大，∠BAF可以小于零，所以先给定一个求证范围）
sin∠1＝(1/√10)
可得出
：
cos∠1＝1-(1/√10)^2=(3/√10)
由两倍角公式可得：
sin(2.∠1)=2.sin(∠1).cos（∠1）=2*(1/√10)*(3/√10)=3/5
通过正切与正弦的万能公式可得到：
sin(2.∠1)=2*tan(∠1)/(1+tan(∠1)^2)=3/5
令tan∠1=x
列方程可得：
x=1/3
or
3
因为
sin∠1＝(1/√10)
小于
√2/2，所以在第一象限内，∠1小于45°
tan∠1不可能为3，所以
tan∠1=1/3.
利用正切和差公式：
tan(∠BAF-∠1)=(tan(∠BAF)-tan(∠1))/(1+tan(∠BAF)*tan(∠1))=(2-1/3)/(1+2*(1/3))=1
所以，通过反正切函数，若（∠BAF-∠1）的值在第一象限，则∠BAF-∠1=45°