Question

试求f(x)除以x^2+2x-3的余式

若多项式f(x)被x-1和x+3所除的余数分别为-12和-28, 试求f(x)除以x^2+2x-3的余式

Answer 1

方法一：
f(x)除以x-1的余数是-12，所以存在多项式u(x)使得f(x)=(x-1)*u(x)-12。
设u(x)除以x+3的商和余数分别是v(x)和a，则u(x)=(x+3)*v(x)+a，所以
f(x)=(x-1)[(x+3)*v(x)+a]-12=(x-1)(x+3)*v(x)+a(x-1)-12
=(x-1)(x+3)*v(x)+a[(x+3)-4]-12=(x-1)(x+3)*v(x)+a(x+3)-4a-12
=(x+3)[(x-1)*v(x)+a]-4a-12。
这说明f(x)除以x+3的商是(x-1)*v(x)+a，余数是-4a-12。由题意知-4a-12=-28，解得a=4。
所以f(x)=(x-1)(x+3)*v(x)+4(x-1)-12=(x^2+2x-3)*v(x)+4x-16，从而知f(x)除以x^2+2x-3的商为v(x)，而余式为4x-16。
（也可以先用f(x)除以x+3，再用商除以x-1，得到结果相同）
方法二：
f(x)除以x^2+2x-3的余式次数至多为一，所以可设为r(x)=ax+b。注意到x^2+2x-3=(x-1)(x+3)，所以f(x)除以x-1的余数等于r(x)除以x-1的余数，恰等于r(1)=a+b；f(x)除以x+3的余数等于r(x)除以x+3的余数，恰等于r(-3)=-3a+b。所以有
a+b=-12
-3a+b=-28。
易解得a=4,b=-16。所以f(x)除以x^2+2x-3的余式r(x)=4x-16。