Question

设f(x)是定义在R上的增函数，且有f(xy)=f(x)+f(y)

(1)求证：f(x/y)=f(x)-f(y) （2）若f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围

Answer 1

这是抽象函数问题。看来你对抽象函数的学习刚开始，找不到解决问题的头绪。
抽象函数没有解析式，这是“弱点”；
但是抽象函数也有“优点”---这就是它有“百宝箱”，比如本题“对任意x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)”---之所以称之为
“百宝箱”，是因为你想要的东西都可以从这里寻找。
（1）证：由f(xy)=f(x)+f(y）得：
f(x/y)+f(y)=f(x)
变形即是：f(x/y)=f(x)-f(y)
（2）解：分析，本问，是要使用函数的“百宝箱”把式子变为两个函数值的关系，然后利用单调性“脱”掉f！然后再解关于a的不等式即可。在“脱”掉f的过程中，首先要把“2”“穿”上f
。
已知f(a)>f(a-1)+2可变为f(a)-f(a-1)>2由（1）知：
f(a)-f(a-1)=f[a/(a-1)],而2=1+1=f(3)+f(3)……“穿”上f了！又由已知得f(3)+f(3）=f(9)
因此：f(a)>f(a-1)+2即：
f[a/(a-1)]>f(9),再由已知“设f(x)是定义在R上的增函数”可把f“脱”掉：
a/(a-1)>9,
下面应该会解了吧？我留给你解决。