Question

设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2+[c+(1/c)]^2>=100/3

用柯西不等式或均值不等式证明

Answer 1

答：
解法一:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)^2
1/a+1/b+1/c≥9
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
≥(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2≥(1+9)^2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3
解法二：
由
排序不等式
知
3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
由
均值不等式
知
1=a+b+c≥3(abc)^(1/3),即1/abc≥[3/(a+b+c)]^3
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2
=(a^2+b^2+c^2)+(1/a^2+1/b^2+1/c^2)+6
≥(a+b+c)^2/3+3(1/abc)^(2/3)+6
≥1/3+27+6=100/3
解法三：
设y=(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2
y''=2+6/x^4>0,y是
凸函数
，
由琴森不等式
[f(a)+f(b)+f(c)]/3≥f[(a+b+c)/3]
代入即可证明不等式。