复合函数的n阶导公式(布鲁诺公式)如何证明?
复合函数如何求导规则：
1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。
定义
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数（composite function)，记为：y=f，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
定义域
若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
周期性
设y=f(u)的最小正周期为T1,μ＝φ（x)的最小正周期为T2,则y=f(μ）的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ＝φ（x)的单调性来决定。
即“增＋增＝增；减＋减＝增；增＋减＝减；减＋增＝减”，可以简化为“同增异减”。
复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′＝f(u)′＊g(x)′
例：
1、y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′＝f(u)′＊g(x)′＝＊(x^3)′＝＊(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]。
2、y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3。
复合函数性质是什么复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
（1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间［g(m)，g(n)] (或［g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f为减函数。
（2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f是偶函数。
