Question

为什么先对x和先对y积分会有两个不同的结果?

Answer 1

因为这两个式子都不对，二重积分化为二次积分时，内层的积分上下限可以是函数(关于外层积分变量的)，但是，外层的积分限一定只能是常数。

当积分区域的右边界为垂直于x轴的直线时，可以用你写的积分次序（记为次序一）。若要交换积分次序（记为次序二），应该将区域分两部分讨论：当积分区域的上边界为平行于x轴的直线时，恰恰相反：次序二时，区域不分块。

积分的一个严格的数学定义

由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间［a，b］），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。