相似矩阵的特征向量一样吗?
没有这种性质。特征向量之间是这样联系的:Ax=λx,P^{-1}BP=A,那么B(Px)=λ(Px)。
在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。
特征函数满足如下特征值方程:
其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数,如果λ = 0,它就不变,如果λ为正,它就按比例增长,如果λ是负的,它就按比例衰减。例如,理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快,从而满足一个正λ的特征值方程。
该特征值方程的一个解是N = exp(λt),也即指数函数;这样,该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。若λ是负数,我们称N的演变为指数衰减;若它是正数,则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。
若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:
1、求出全部的特征值。
2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成,即为对应的线性无关的特征向量。
3、上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角矩阵相似。对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P, 使其为对角阵,则称方阵A可对角化。