Question

n个数的平方和公式是什么?

Answer 1

n个自然数的平方和公式为：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

用数学归纳法：

n=1时，1=1*2*3/6=1成立；

假设n=k时也成立，那么k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²；

那么n=k+1；

1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)；

所以1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

＝（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6；

即n=k+1时，也成立；

所以：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。叫做完全平方公式。为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

这两个公式的结构特征：

1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍。

2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍。

3、公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等数学式。