n个数的平方和公式是什么?

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2021-11-09 · 小熊帮你解决生活中的各种问题
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n个自然数的平方和公式为:1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

用数学归纳法:

n=1时,1=1*2*3/6=1成立;

假设n=k时也成立,那么k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²;

那么n=k+1;

1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1);

所以1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6;

即n=k+1时,也成立;

所以:1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

两数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2倍。叫做完全平方公式。为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。

这两个公式的结构特征:

1、左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上或减去这两项乘积的2倍。

2、左边两项符号相同时,右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时,右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍。

3、公式中的字母可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等数学式。

深圳市鹏芯集成电路有限公司
2023-06-12 广告
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