Question

请问各位大神，这题为什么不能用洛必达法则求解？（以下是本人和答案的求解过程）

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Answer 1

洛必达法则可以用，只是题主在使用上出现了问题，具体过程见下图。如还有疑问欢迎追问，望采纳。

追问

1.请问在第一步中为什么不能用等价无穷小ln（1+x）~x替换？
2.在解答式子中不能代入x=0的原因是什么？（代入以后还是0/0型）

追答

1.分母中是x^2，所以分子也至少要展开到二阶，ln(1+x)~x-(1/2)x^2

2.既然还要进行洛必达操作，那么就需要对含x的表达式求导，所以必须保留所有的x，而不是一部分带入一部分保留

Answer 2

问题出在第一步，a=1的时候，ax+bx²~x，而ln(x+1)~x此时，两个对x是等阶的，不能在减法中来进行等价代换，这种题型一般用泰勒比较简单。

Answer 3

正确的应该是：

=lim[1/(1+x) - (a + 2bx)]/(2x)
=1/2 * lim [1 - (a+2bx)(1+x)]/[x(1+x)] 注：分子、分母同乘以 (1+x)
=1/2 * lim [1 - (a + ax + 2bx + 2bx²)]/[x(x+1)]
=1/2 * lim [(1-a) - (a+2b)x - 2bx²)]/(x²+x)
既然该极限存在，那么，做到这一步以后，可以看出分子、分母的极限肯定都还是趋于无穷小。

因此，
(1-a) = 0
所以，

a = 1
继续使用罗必塔法则：
=1/2 * lim [-(a+2b) - 4bx]/(2x+1)
=1/2 * lim [-(a+2b) - 4b * 0]/(2 * 0 + 1)
=1/2 * lim [-(a+2b)]/1 = 2
所以，
a+2b = -4
因此，b = -5/2

Answer 4

x->0
ln(1+x) = x-(1/2)x^2+o(x^2)
ln(1+x) - (ax+bx^2)
=(1-a)x + (-1/2-b)x^2 =o(x^2)
lim(x->0) [ln(1+x) -(ax+bx^2) ]/x^2=2
=>
1-a=0 and -1/2-b=2
a=1 and b=-5/2