Question

在数列{an}中，a1=1,当n≥2时，其前n项和Sn满足an+2Sn*Sn-1=0

(1)求Sn的表达式；（2）设bn=Sn/2n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

an+2Sn*Sn-1=0
Sn-S(n-1)=-2Sn*S(n-1) (两边同除以Sn*S(n-1) )
1/S(n-1)-1/Sn=-2
即1/Sn-1/S(n-1)=2

所以{1/Sn}是以1/S1=1为首相d=2为公差的等差数列
1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)

(2)
bn=Sn/2n+1
=1/(2n-1)(2n+1)
=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

Tn=b1+b2+...+bn
=[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
=[1-1/(2n+1)]/2
=n/(2n+1)

Answer 2

1、因为an+2SnS(n-1)=Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0.

所以Sn+2SnS(n-1)=S(n-1),即1/Sn=1/S(n-1)+2.令1/Sn=Bn

所以得出Bn=2n-1(n≥2).将n=1时的情况代入发现也符合通项公式。（注意讨

论n=1的情况）

所以Bn=2n-1,Sn=1/(2n-1)。

2、bn=Sn/(2n+1)=1/[(2n-1)(2n+1)]=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

所以：Tn=b1+b2+……+bn

=[1/1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

=n/(2n+1).