Question

高数问题？

y＝fx和x＝f逆y互为反函数却图像相同。
y＝fx和y＝f逆x互为反函数却图像关于y＝x对称。
x＝f逆y和y＝f逆x不是应该一样吗？
有点理解不了

Answer 1

从方程角度理解：y=f(x)与x=f⁻¹(y)是同一个方程，它们是同解变形，所以它们的图形是一样的。

y而y=f(x)与y=f⁻¹(x)是两个不同的方程，所以它们的图形就不一样。因为其中把它们的x，y互换，所以它们的图像就关于y=x对称。

Answer 2

比如y=x+1，解出x=y-1，它们虽然是反函数，但它们显然是同一个函数，所以图像相同。
将x=y-1的字母对调，得到y=x-1，它和y=x+1的图像关于y=x对称。

Answer 3

不一定相同，也不一定不相同，比如函数y=x不管是正还是反都指代一个函数
你的笔记里写得很清楚，x=f^-1(y)等价于y=f(x)，所以做比较的还是原函数y=f(x)和反函数y=f^-1(x)
同时
反函数的先决条件为映射与映射间存在一一对应关系。
所以存在一个原函数逆运算奇数次是它的反函数，逆运算偶数次还是原函数这条性质。
至于为什么关于y=x对称
这是由于在求反函数过程中，x与y互换造成的
设（a,b）是原函数图像上的点，根据反函数的定义，则（b,a）是反函数图像上的点。显然（a,b) (b,a）两点关于直线y=x对称.证毕.

追问

可是，y＝fx和x＝f逆y不是定义域值域互换，互为反函数吗？
习惯上又把y＝fx的反函数记为y＝逆x。
这样来看的话，x＝f逆y和y＝f逆x不是相同的吗？
可是y＝fx和x＝f逆y的图像相同。y＝fx和y＝f逆x的图像却关于y＝x对称。
这是为啥，我有的理解不了……

Answer 4

y = f(x) 和 x = f^(-1)(y) 是互为反函数时，这意味着对于 f 的输入 x 和 f^(-1) 的输入 y，它们分别会产生相同的输出。这可以使两者的图像相同。

当 y = f(x) 和 y = f^(-1)(x) 是互为反函数时，这意味着对于 f 的输入 x 和 f^(-1) 的输入 y，它们分别会产生相同的输出。这可以使两者的图像关于直线 y = x 对称。

然而，当 x = f^(-1)(y) 和 y = f^(-1)(x) 时，情况可能会稍有不同。虽然它们都是反函数，但它们的图像不一定会有相同的特性，因为它们是对两个不同的函数进行求反。

Answer 5

先说清楚，y=f⁻¹(x)是y=f(x)的反函数。
首先，x=f(y)其实就是y=f(x)的反函数了，很明显，x,y发生了交换。但实现形式f是没有变化的。
也就是说：x=f(y),就是y=f⁻¹(x)
而x=f⁻¹(y)则是再次对他求反函数。
那么x=f⁻¹(y)其实就是又回到了y=f(x)
也就是x=f⁻¹(y),就是 y=f(x)
这下应该能解释对称性了吧

追问

y＝fx和x＝f逆y互为反函数却图像相同。
y＝fx和y＝f逆x互为反函数却图像关于y＝x对称。
x＝f逆y和y＝f逆x不是应该一样吗？
有点理解不了

追答

x＝f逆y和y＝f逆x

同样的函数过程f⁻¹,但
因变量自变量都不一样，怎么可能是一样的！

第一句话是错的，两个是同一函数，不是反函数。

我已经在回答里解释清楚了。

反函数必须是
要么f不变，x,y互换
要么f变为f⁻¹,x,y不变

比如x=f(y)和y=f⁻¹(x)
都是y=f(x)的反函数。

望采纳…