Question

证明：A+B+C≥3×((ABC)⅓) 条件为A>0, B>0, C>0.

证明：A+B+C≥3×((ABC)⅓) 条件为A>0, B>0, C>0. 本人正在学 基本不等式 这一章

Answer 1

X^3
+
Y^3
+
Z^3
-
3XYZ
=
(X
+
Y
+
Z)·(X^2
+
Y^2
+
Z^2
-
XY
-
YZ
-
ZX)
=
(X
+
Y
+
Z)·【（X-Y）^2
+
(Y-Z)^2
+
(Z-X)^2】/2
由于（X-Y）^2
+
(Y-Z)^2
+
(Z-X)^2》0，当且仅当X=Y=Z取等号，故有：
X^3
+
Y^3
+
Z^3
-
3XYZ》0，即X^3
+
Y^3
+
Z^3
》
3XYZ，上式中，
分别用A、B、C代替X^（1/3）
Y^（1/3）
Z^（1/3）即可得到：
A+B+C≥3×((ABC)⅓)
（当且仅当A=B=C取等号）