Question

证明：设f(x)在x=0连续，且lim(x→0) (f(x)/x)=1，则必有f'(0)=1

Answer 1

解：因为
x→0时
，lim
（f（x）-1）/x
存在，
必然
x→0时
，lim
（f（x）-1)=0
,(否则已知的极限不存在）
又因为
f（x）在x=0处连续，所以
limf（x）存在，且等于f（0）
于是
lim
（f（x）-1)=limf（x）
-1=0=f（0）-1，即有
f(0)=1
对
"否则已知的极限不存在"的解释：请看：
x→0时
，
lim(x-1)/x
存在吗？画出函数f(x)=(x-1)/x
更加清楚。
x→0时
，
lim
x(x-1)/x
存在吗
?
具体可以看教材。

Answer 2

因为lim(x→0)
(f(x)/x)=1
所以，x与f(x)为
等价无穷小
:x~f(x)
.
x趋于0时，f(x)也趋于0
所以：f(0)=0
f'(0)=
lim(x→0)
[f(x)-f(0)]/(x-0)
=
lim(x→0)
f(x)/x
=
1