Question

存在第一类间断点的函数真的没有原函数吗？

Answer 1

存在，但是它的严格叙述是：如果f(x)在区问（a,b)内的每一点都可导，则f'(x)在（a,b)内没有第一类间断点。

因此，f(x)=|x|时，它的导数f'(x)满足：当x>0时，f'(x)=1；当x<0时，f'(x)=-1；当x=0时，f'(x)=f'(0)=不存在。

虽然x=0是f'(x)的第一类间断点，但这种不算。我们说导数没有第一类间断点，是指的导数在每一点都存在时，他没有第一类间断点，并不包括这种在一个点导数不存在这样的间断点。

这个结论的证明，是利用达布定理：如f(x)在［a,b]可导，且C在f'(a)与f'(b)之间，则存在c∈（a,b)，使得f'(c)=C。达布定理的叙述和证明将后面的两张照片。

有了达布定理，我们就可以证明导数没有第一类间断点了，证明如下：如c是f'(x)的第一类间断点，我们分两种情况证明这是不可能的，一种情况是c是f'(x)跳跃间断点；另一种情况是c是f'(x)可去间断点。

第一种情况可以在c点的左右找到两个点a,b使得f'(x)在［a,b]的值域不是连续的（即值域不是一个区间），这是因为c点是导数f'(x)的跳跃间断点。

这与达布定理矛盾。所以第一种情况是不可能的。第二种情况，因为f'(c)与f'(x)的右极限不相等，所以在c点的右边可以找到一点b，使得f'(x)在［c,b]的值域不是连续的（也就是说值域不是一个区间），这与达布定理矛盾，所以第二种情况也是不可能的。这样我们就证明了导数没有第一类间断点。

Answer 2

没有原函数，详情如图所示