Question

极限的等价代换公式是什么？

Answer 1

求极限的等价代换公式：

当x→0时，sinx-x，tanx-x，arcsinx-x，arctanx-x，1-cosx-(1/2)*（x^2）-secx-1，（a^x）-1-x*lna(（a^x-1)/x-lna)、（e^x）-1-x等等。

极限是微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念均由其定义。它可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势，也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

Answer 2

极限的等价代换公式是指在某些情况下，可以用一个与其等价的函数代换原函数从而求出极限值。其定义来源于数学分析学科中的极限理论。
具体讲解如下： 当函数f(x)在x=a处存在极限L且g(x)在x=a处连续，并且满足g(x)≠0时，若f(x)/g(x)的极限存在或为无穷大，那么有 lim [f(x)/g(x)]=lim[f(x)]/lim[g(x)]=L/lim[g(x)]
其中极限L的运用包括但不限于函数图像的渐进线、函数极值、函数定义域、连续性等方面。
例题讲解： 求lim (e^x−1-x)/x (x→0) 由于当x→0时，e^x -1 ~x，故(e^x−1-x)/x = [e^x -1]/x 因此，lim (e^x−1-x)/x = lim [(e^x -1)/x] = lim [e^x/x -1/x] 根据等价代换公式， lim (e^x−1-x)/x = 1
注：此处「e」表示常数e，「^」表示上标符号。

Answer 3

极限的等价代换公式是指当函数 f(x) 在某点 a 处的极限存在时，如果存在 g(x) 在 a 处的极限也存在且两个函数在 a 处的极限相，那么我们可以通过将 f(x) 和 g(x) 在 a 处展开为泰勒级数，并且保留相同的阶数，将 f(x) 替换为 g(x) 来简化极限计算。具体公式为：

lim(xa) f(x) = lim(xa) g(x)

其中，f(x) 和 g(x) 是两个存在极限的函数，并且在 a 处的极限相等。