Question

请问这几个极限是如何求得的。

Answer 1

函数的极限
第一步：判断极限类型
1、 型
常用方法：①洛必达法则 ②等价无穷小代换 ③泰勒公式
2、 型
常用方法：①洛必达法则
②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
③基本极限：
当n=m时，极限等于 ,当n＜m时，极限等于0，当n>m时，极限等于+∞.
3、∞-∞ 型
常用方法：①通分化为 （适用于分式差）
②根式有理化（适用于根式差）
③提无穷因子，然后等价代换或变量代换（t= ）、泰勒公式
4、0 · ∞ 型
常用方法：f(x)由分子变为分母，化为 型或 型
5、 型
常用方法：
①凑基本极限
②改写成指数 ，用洛必达法则；
③利用结论：

Answer 2

由题意可以知道 u = x - f(x)/f'(x)
f(0)=0,f'(0)=0,f''(0)>0
设f(x) = x²(a+bx+cx²+......)
那么f(u) = u²(a+bu+cu²+......)
所以xf(u)/uf(x) = u(a+bx+cx²+....) / (x(a+bu+cu²+......))
x->0，那么u->0
所以limxf(u)/uf(x) = lim(u/x) =lim ( 1- f(x) / xf'(x) )
f(x) / xf'(x) 是0/0型的极限，所以
洛必达法则得lim f(x) / xf'(x) =lim f'(x) / [f'(x) + xf''(x)] = lim f''(x) / [f''(x) + f''(x) + xf'''(x) ] = f''(0) / (2f''(0) + 0) = 1/2
所以limxf(u)/uf(x) = lim(u/x) =lim ( 1- f(x) / xf'(x) ) = 1-1/2 = 1/2