Question

高等数学，证明题？

如图

Answer 1

将0代入x

左边算式可计算出0的m次方，乘以(1-0)n次方，再乘以d0，得出答案为0

右边算式可计算出0的n次方，乘以(1-0)m次方，再乘以d0，同样得出答案为0

将1代入x

左边算式可计算出1的m次方，乘以(1-1)n次方，再乘以d1，得出答案为0

右边算式可计算出1的n次方，乘以(1-1)m次方，再乘以d1，同样得出答案为0

因为皆为0，所以得出左边的算式等于右边的算式

Answer 2

设u=x-1/2,则x=u+1/2,dx=du,
左边-右边=∫<-1/2,1/2>[(u+1/2)^m*(1/2-u)^n-(u+1/2)^n*(1/2-u)^m]du,①
设f(u)=(u+1/2)^m*(1/2-u)^n-(u+1/2)^n*(1/2-u)^m,
则f(-u)=(-u+1/2)^m*(1/2+u)^n-(-u+1/2)^n*(1/2+u)^m
=-f(u),
所以①=0，命题成立。

Answer 3

令 y = 1-x
∫[0,1] x^m (1-x)^n dx
= ∫[1,0](1-y)^m y^n (-1) dy
= ∫[0,1](1-y)^m y^n dy
= ∫[0,1] x^n (1-x)^m dy

Answer 4

令t=1-x，则dx=-dt
当x=0时，t=1，当x=1时，t=0,
原式=-∫(1→0)(1-t)^m*t^ndt
=∫(0→1)(1-t)^m*t^ndt
=∫(0→1)x^n*(1-x)^mdx