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设u=x-1/2,则x=u+1/2,dx=du,
左边-右边=∫<-1/2,1/2>[(u+1/2)^m*(1/2-u)^n-(u+1/2)^n*(1/2-u)^m]du,①
设f(u)=(u+1/2)^m*(1/2-u)^n-(u+1/2)^n*(1/2-u)^m,
则f(-u)=(-u+1/2)^m*(1/2+u)^n-(-u+1/2)^n*(1/2+u)^m
=-f(u),
所以①=0,命题成立。
左边-右边=∫<-1/2,1/2>[(u+1/2)^m*(1/2-u)^n-(u+1/2)^n*(1/2-u)^m]du,①
设f(u)=(u+1/2)^m*(1/2-u)^n-(u+1/2)^n*(1/2-u)^m,
则f(-u)=(-u+1/2)^m*(1/2+u)^n-(-u+1/2)^n*(1/2+u)^m
=-f(u),
所以①=0,命题成立。
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令 y = 1-x
∫[0,1] x^m (1-x)^n dx
= ∫[1,0](1-y)^m y^n (-1) dy
= ∫[0,1](1-y)^m y^n dy
= ∫[0,1] x^n (1-x)^m dy
∫[0,1] x^m (1-x)^n dx
= ∫[1,0](1-y)^m y^n (-1) dy
= ∫[0,1](1-y)^m y^n dy
= ∫[0,1] x^n (1-x)^m dy
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令t=1-x,则dx=-dt
当x=0时,t=1,当x=1时,t=0,
原式=-∫(1→0)(1-t)^m*t^ndt
=∫(0→1)(1-t)^m*t^ndt
=∫(0→1)x^n*(1-x)^mdx
当x=0时,t=1,当x=1时,t=0,
原式=-∫(1→0)(1-t)^m*t^ndt
=∫(0→1)(1-t)^m*t^ndt
=∫(0→1)x^n*(1-x)^mdx
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