Question

特征值为0是正惯性指数吗

Answer 1

0是负惯性指数。

在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1、－1构成的对角矩阵。如果设1的个数是p，－1的个数是q，那么给定（p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。

数对（p,q)称为一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数，其中1的个数p称为正惯性指数，-1的个数q称为负惯性指数，p-q叫做符号差。据此可以得出：合同关系将所有的实对称矩阵分为n+1个等价类。

相关定理

定理1两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等。（即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等） 。

定理2实对称矩阵A的正（负）惯性指数就是它的正（负）特征值的个数。

推论两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正（负）特征值的个数都相等。

Answer 2

特征值0既不算作正惯性指数也不算作负惯性指数，正负惯性指数之和可以小于二次型矩阵的秩，即p+q＜n，此时规范型不足n项。