向量空间的定义

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天罗网17
2022-07-18 · TA获得超过6186个赞
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一个向量空间包括三块,基础集,两种二元运算,加法,标量乘。

暂且用实数域的符号表示,比较熟悉。

然后还必须满足一些性质,基础集关于加法运算构成阿贝尔群,基础集关于标量乘构成一个左作用。结合起来就是向量空间是标量域的R-Mod。也称之为左模。

环上的模,就是抽象代数结构环上定义的另一种代数结构,环上的典型的阿贝尔群就是环上的加法子群。

左作用,更像是函数作用,要求满足结合性,关于加法的两种分配律,最后是恒等作用。对应着就像函数的复合运算,恒等映射。所以称之为作用。就像函数作用于数一样。

于是,向量空间定义就得到了极大的简化。从八条性质,变为了两条陈述。

关于加法构成阿贝尔群意味着

标量乘相当于左作用意味着

这样就容易记了。

向量空间往往用这个符号表示 ,说明是由n个R生成的。

这里可以联想到张量空间 ,由向量空间和对偶向量空间生成,张量积符号是非交换的,所以往往不能缩写,这里为了方便,没有写成交错项。

其实他们区别也不大,基底分别是

向量空间由标量域生成,张量空间由向量空间生成,都是一种结构的扩张,尽管如此,他们还都是向量空间,仅仅是维数提高了。当然,对于附加的结构也会体现一些新的性质。抓住向量空间这一主线的话,张量就容易理解了,不至于深陷于各种指标与符号,结果忽视了他的本质。张量不过是一个维数很高的向量,张量的分量也只是他的坐标,每个分量对应一个基底,分量的相等就代表张量的相等。各种人为定义的运算目的或者在于简化符号,避免公式太长,或者是简化计算,省去不必要的分量计算。
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上海上恒
2024-02-18 广告
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