向量坐标运算公式总结是什么?
两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
在一个向量空间V中,定义为V*V 的正定对称双线性形式函数即是V的数量积,而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间,点积适用于交换律、结合律、分配律。
内积就是: ab=丨a丨丨b丨cosα (注意:内积没有方向,叫做点乘)。
外积就是: a×b=丨a丨丨b丨sinα (注意:外积是有方向的。)。
混合积具有下列性质:
三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1)。
证明
为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。
i,j,k满足以下特点:
i=jxk;j=kxi;k=ixj。
kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k。
ixi=jxj=kxk=0。(0是指0向量)
由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。
这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。
2024-10-13 广告