Question

二次型经过正交变换后相似吗？

Answer 1

不一样。

化二次型为标准型时，结果不唯一，但都是正确的。可以用正交变换法和配方法，初等变换是化简矩阵时运用的方法。

n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。

对称矩阵（二次型）正交变换后的得到是特征值。

1、相似对角变换是P^-1AP，合同对角变换是P'AP。

2、正交变换时所以得到的对角阵既是合，同的又是相似的。

3、相似对角阵里的对角线元素是特征值，因此二次型正交变换得到的对角线元素是特征值。

4、而配方法属于合同变换，（一般）不是正交变换；因此除正交变换外的其他合同变换如配方法就得不到特征值了。