Question

复合函数求导方法

Answer 1

函数 ，求其导数

因为
所以：
想一想为什么红色的答案是错的。

你知道 和 的求 导方法，所以你想把它先展开：

如果有耐心和时间，这样也可以求得结果，但如果我们这样做的话，那下面介绍的方法就没有意义了。因此我们要推导一个公式，以便可以不进行多项式乘法就能求导。再重复一下，公式是为简化运算而产生的。
如果用公式无法轻松处理复杂的计算，又怎么能叫“公式”呢？
简化这类运算的方法就是“复合函数求导法”。

如果该算式是 ，那么根据已知的x的求导公式，1秒钟就能得出结果。而函数式 根据 的求导公式也能在1秒钟内计算出答案。不过将它们组合起来，就太难了，不知如何下手。
有句话“一根筷子轻轻被折断，一双筷子牢牢抱成团”，一双筷子是比一根筷子难以折断。
个体都是可以瞬间解决，复合函数的基本求导思想就应该是“在个体汇集之前就解决掉它们”。
因此，我们要把 分成两个部分。在组合组件时，我们通常都是先将每部分分别组合后再进行整体组装，求导也是如此，我们要将可简单求导的 和 分别求导，而后再将其组合。
刚才我们一直在说 ，但实际上是 ，所以直接写成 不太好处理。为此我们另外准备了一个新字母u。假设u=2x+3，这样原来的算式可写成 。
对函数关于以求导得到 ，对u=2x+3关于x求导得到 。
突然用分数形式表示导数，还能记起来吗？这是莱布尼兹发明的表示方法。分母表示“关于什么求导”。
这样，两个“零件”就准备完毕，剩下的就是考虑如何组合。暂时先将组合好的零件放在一旁，我们先来看看原先的算式。
对 关于x求导，可表示为 。将3个导数算式排在一起就是 。你发现了什么？
是的，通过象 些可求得 （约掉分子和分母上的du）。代入 ，则得到
之后将置换的u代回原来的2x+3，就得到

复合函数的求导方法，就是引入新字母，使得原函数被分解成了两个函数的复合函数，对每个算式分别求导后，再将其组合。这个方法最重要的思路就是：

作为分数运算，这种处理理所当然，但能将该方法用于表示导数关系实在是聪明。莱布尼兹真是厉害呀！
将上面的 展开，得到的结果与将原式展开后求导的结果完全相同。虽然有些费事，不过还是请你试着做一下。