Question

二阶常系数齐次线性微分方程是什么？

Answer 1

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

标准形式 y″+py′+qy=0。

特征方程 r^2+pr+q=0。

通解：

1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。

2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)。

3、共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)，标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)。

二阶线性微分方程的求解方式分为两类

一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。