Question

根号下x^2-1的积分是多少？

Answer 1

根号下x^2-1的积分是(1/2)[x√(x²-1)+ln|x+√(x²-1)|]。

解：可用分部积分求出。设I=∫√(x²-1)dx，则：

I=x√(x²-1)-∫xd√(x²-1)

=x√(x²-1)-∫x[x/√(x²-1)]dx

=x√(x²-1)-∫[(x²-1)+1]dx/√(x²-1)

=x√(x²-1)-∫√(x²-1)dx+∫dx/√(x²-1)

=x√(x²-1)-I+ln|x+√(x²-1)|

故I=(1/2)[x√(x²-1)+ln|x+√(x²-1)|]。

积分的意义：

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。