Question

什么是数学概念

Answer 1

众所周知,概念是思维的基本形式之一,是对一切事物进行判断和推理的基础．数学概念是构成数学知识的基础,是基础知识和基本技能教学的核心,正确地理解数学概念是掌握数学知识的前提．因此数学概念的教学是数学教学的一个重要方面,但数学概念的抽象性使得数学概念的教学相对棘手．

概念的产生都有其必然性,我们要抓住概念产生的背景,让学生了解数学概念的产生、发展、演变的原因以及在这些原因中所隐藏着数学概念间的内在联系,将数学概念在数学思想的整体连贯性中的作用体现出来．

因此,教师在讲授新的概念时,可以分析概念产生的背景．找出合适学生理解的、有趣而生动的切入点,让学生更容易理解新概念,更容易对新知识找到共鸣,才能让学生有更多的机会参与发现需要建立新概念的时机并加入到这一创造活动中去,从中感受和谐、连贯、严密、有用的数学之美．下面浅谈一下在概念教学中用到的几种方法．

一、从概念的产生背景着手,层层深入

对数这一概念就是学生在数学学习中遇到的一个非常抽象的概念,直接讲授的方式会使学生难于理解．其实我们分析一下对数产生的背景,可以发现这是数学运算发展到一定的阶段后,必然产生的一种新运算．加法发展到一定程度必然要引入减法,乘方发展到一定阶段必然要出现开方一样,对数也是为了生产生活中的计算需要而必然产生的．如果把这些概念的背景、运算方式列成表格,在对比过程中自然而然形成新的概念,使学生轻松地接受并理解它．

教师可以设置了一个这样的教学引入过程： 首先提出两个问题1、1个细胞一次分裂成两个细胞,请问1个细胞需要分裂多少次以后才能分裂成128个?2、某人原来年薪为a万元,假设他的工资以每年10%的速度增长,请问经过多少年以后他的年薪增长为原来的2倍?

这两个例题中,运用的运算都是解指数方程：1、,2、．但第一题答案是特殊值,不需要引入新运算；第二题答案则不是特殊值了,在现有的运算中,答案算不出来．如何让解决这一问题?

紧接着,教师再提出了几种具有互逆关系的运算进行对比,如：3+x=10 x=10-3、5=8 x=、 ．

在接下来的教学中,我们就可以自然的将指数式化成对数式x=,引入新的运算概念．并且指出：指数式与对数式的关系（1）是等价的（2）它们只是写法不一样,读法不一样,a、b、N的名称不一样,所在位置不一样,但代表的数一样,含义一样,数的范围也是一样,只要牢牢记住指数式和对数式中的字母a、b、N交换的方式、交换的位置,就可以自由的将指数式和对数式进行互化．在这个过程中,指数对数与加减、乘除、乘方开方之间关系是相类似的,这些概念之间的对比要贯穿教学始终,以便于学生的理解．

二、从概念的生活背景出发,创设学习情境

很多数学概念是人们在长期的现实生活中对事物进行高度抽象概括的产物,有具体的素材为基础,有生动的现实原型,教师要善于结合生活实际,通过多种方式创造良好的学习情境激发学生的学习兴趣,使学生觉得这些抽象的数学概念仿佛就在自己的身边,伸手可摸．

等比数列这样的概念就是直接源于生活的概念,在讲授的过程中,现实生活中的实例随手可得,如常见的细胞分裂问题,商店打折问题,放射性物质的重量问题,银行利率,为自己家选择合适的还贷方式等等实例可以信手拈来穿插在概念的讲解、巩固的过程中．

为了让学生积极性充分发挥出来,我还设计了一个有趣的问题情境引入等比数列这一概念：

阿基里斯（希腊神话中的善跑英雄）和乌龟赛跑,乌龟在前方1里处,阿基里斯的速度是乌龟的10倍,当他追到1里处时,乌龟前进了里,当他追到了里,乌龟前进了里；当他追到了里,乌龟又前进了里……

（1）分别写出相同的各段时间里阿基里斯和乌龟各自所行的路程；

（2）阿基里斯能否追上乌龟?

让学生观察这两个数列的特点引出等比数列的定义,学生兴趣十分浓厚,积极性和主动性高涨,课堂气氛也十分活跃．

三、从概念的历史背景出发,激发兴趣

复数和虚数的概念有悠远的历史背景,是数发展到一定的阶段的必然产物．在很长一段时间里,人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量,在学生的有限的知识结构中也找不到虚数的生活原型,所以学生很难完全理解它．因此,在讲解这两个概念时,可以将数的发展史、虚数与复数的出现历程作简单阐述,为了表述得清晰而有趣,教师可以把这过程制作成动画短片：

从原始人分配食物开始,首先是自然数的出现,然后到分数的出现．接下来经过漫长的数的发展,人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数,如圆周率等．人们把它们写成π等形式,称它们为无理数．到19世纪,由于运算时经常需要开平方,如果被开方数是负数,比如,这道题还有解吗?如果没有解,那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁．这样,可以让学生融入教学中,跟着故事的结尾一起思索,然后引入新概念：数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根,即＝-1,虚数就这样诞生了．实数和虚数结合起来,写成 a＋bi的形式（a、b均为实数）,这就是复数．种引入概念的过程新颖别致,一开始就能抓住学生的眼球,吸引他们的注意力,使课堂教学轻松有趣．

四、从概念的专业背景出发,讲求实用

许多数学概念在其他的专业领域应用也非常广泛．把数学知识和其他专业知识有机结合在一起,可以让学生充分认识到数学学习的重要性．

三角函数这一概念在很多专业领域都有重要的应用．在物理方面,简单的和谐运动,星体的环绕运动,峰谷电；在心理生理方面,情绪周期性波动、智力体力的周期性变化、一天内的血压状况；天文地理方面,气温变化规律,月缺月圆、潮涨潮汐的规律；日常生活中,车轮的变化,这一切的研究都离不开三角函数．

因此三角函数的应用课里,可以设计一些有周期性变化规律的实际问题,让学生建立简单的三角函数模型,培养学生数学建模,分析问题、数形结合、抽象概括等能力,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,培养学生勤于思考、勇于探索的精神．

学生对新概念的学习只有在已有知识的基础上才能构建,所以教师在教学时一定要注意教材所设计的知识结构．要做到既不脱离课本,又不拘泥于课本,要有大胆的创新精神．要根据学生实际情况,设计好每一堂概念课．