人教版初二数学上册期末测试卷(2)
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【解答】解：整理已知条件得y﹣x=2xy;
∴x﹣y=﹣2xy
将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得
=
=
=
= .
故答案为B.
【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可.
12.若x2+cx+6=(x+a)(x+b)，其中a，b，c为整数，则c的取值有( )
A.1个 B.2个 C.4个 D.8个
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，即可确定出c的取值个数.
【解答】解：x2+cx+6=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
可得c=a+b，ab=6，
即a=1，b=6，此时c=1+6=7;a=2，b=3，此时c=2+3=5;a=﹣3，b=﹣2，此时c=﹣3﹣2=﹣5;a=﹣1，b=﹣6，此时c=﹣1﹣6=﹣7，
则c的取值有4个.
故选C
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.
二、填空题(共7小题，每小题4分，满分28分)
13.计算3a2b3•(﹣2ab)2= 12a4b5 .
【分析】首先利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则求出即可.
【解答】解：3a2b3•(﹣2ab)2=3a2b3•4a2b2=12a4b5.
故答案为：12a4b5.
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键.
14.分解因式：a2b﹣b3= b(a+b)(a﹣b) .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解.平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
【解答】解：a2b﹣b3，
=b(a2﹣b2)，(提取公因式)
=b(a+b)(a﹣b).(平方差公式)
故答案为：b(a+b)(a﹣b).
【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解因式要彻底.
15.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，则PQ= 2 .
【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PQ，从而求得PQ的长.
【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP=∠CPO=∠POQ=15°，
∴∠BCP=30°，
∴PM= PC=2，
∵PQ=PM，
∴PQ=2.
故答案为：2.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质;解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PQ的长的问题进行转化.
16.如图，将一张长方形纸片折叠成如图所示的形态，∠CBD=40°，则∠ABC= 70° .
【分析】首先根据邻补角定义可得∠CBC′=180°﹣40°=140°，再根据折叠可得∠CBA=∠C′BA，进而得到答案.
【解答】解：∵∠CBD=40°，
∴∠CBC′=180°﹣40°=140°，
根据折叠可得∠CBA=∠C′BA，
∴∠ABC=140°÷2=70°，
故答案为：70°.
【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握图形翻折后哪些角是对应相等的.
17.如图，点E为等边△ABC中AC边的中点，AD⊥BC，且AD=5，P为AD上的动点，则PE+PC的最小值为 5 .
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出AB的长，连接BE，则线段BE的长即为PE+PC最小值.
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，且AD=5，
∴AB= = = ，
连接BE，线段BE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边AC的中点，
∴CE= AB= × = cm，
∴BE= = = =5，
∴PE+PC的最小值是5.
故答案为：5.
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.
18.若关于x的分式方程 无解，则m的值是 3 .
【分析】先把分式方程化为整式方程得到x=m﹣2，由于关于x的分式方程 无解，则最简公分母x﹣1=0，求得x=1，进而得到m=3.
【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2.
∵关于x的分式方程无解，
∴最简公分母x﹣1=0，
∴x=1，
当x=1时，得m=3，
即m的值为3.
故答案为3.
【点评】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解.当分式方程无解时可能存在两种情况：(1)原分式方程存在增根;(2)原分式方程去分母后，整式方程无解.本题中由于原分式方程去分母后，得到的整式方程为一元一次方程，必定有解，所以只有一种情况.
19.如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1.点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是 2 .
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系.AO=1，则OC=2.证明△AOP≌△COD求解.
【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP.
∴△ODC≌△POA.
∴AP=OC.
∴AP=OC=AC﹣AO=2.
故答案为：2.
【点评】解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上.
三、解答题(共5小题，满分56分)
20.解答下列各题：
(1)分解因式：4a2﹣8ab+4b2﹣16c2
(2)计算：(2a+b)(2a﹣b)+b(2a+b)﹣8a2b÷2b
(3)化简求值：( ﹣ )÷ ，其中x=﹣3
(4)解分式方程： ﹣1= .
【分析】(1)首先提公因式4，然后把前三项写成完全平方的形式，利用平方差公式分解;
(2)首先利用平方差公式以及单项式与多项式的乘法、单项式与单项式的除法法则计算，然后合并同类项即可;
(3)首先把括号内的分式的分母分解因式，把除法转化为乘法，然后利用分配律计算，最后进行分式的加减即可;
(4)首先去分母转化为整式方程求得x的值，然后进行检验即可.
【解答】解：(1)原式=4(a2﹣2ab+b2﹣4c2)
=4[(a2﹣2ab+b2)﹣4c2]=4[(a﹣b)2﹣4c2]
=4(a﹣b+2c)(a﹣b﹣2c);
(2)原式=4a4﹣b2+2ab+b2﹣4a2=2ab;
(3)原式=[ ﹣ ]÷
= • ﹣ •
= ﹣
=
=
=
=
=1;
(4)方程两边同时乘以(x+2)(x﹣2)得，x(x+2)﹣(x2﹣4)=8，
去括号，得x2+2x﹣x2﹣4=8，
解得：x=6，
检验：当x=6时，(x+2)(x﹣2)=8×4=32≠0.
则x=6是方程的解.
【点评】本题考查了分式的化简求值以及分式方程的解法，正确进行分解因式是关键，且要注意解分式方程时一定要检验.
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
【分析】(1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答.
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
【解答】证明：(1)∵AD∥BC(已知)，
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等)，
∵E是CD的中点(已知)，
∴DE=EC(中点的定义).
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴FC=AD(全等三角形的性质).
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF(全等三角形的对应边相等)，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF(已证)，
∴AB=BC+AD(等量代换).
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
22.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点.
【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证.
【解答】证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点.
【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识.辅助线的作出是正确解答本题的关键.
23.从2014年春季开始，我县农村实行垃圾分类集中处理，对农村环境进行综合整治，靓化了我们的家园.现在某村要清理一个卫生死角内的垃圾，若用甲、乙两车运送，两车各运15趟可完成，已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的3倍，求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?
【分析】设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运3x趟，根据两车各运15趟可完成总任务，列方程求解.
【解答】解：设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运3x趟，
根据题意得： + =1，
解得：x=20，
经检验：x=20是方程的解，且符合题意，
则20×3=60(趟).
答：甲车单独运完此堆垃圾需运20趟，乙车单独运完此堆垃圾需运60趟.
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验.
24.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=(x+2y)(x﹣2y)﹣2(x﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y﹣2)这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：a2﹣4a﹣b2+4;
(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状.
【分析】(1)首先将a2﹣4a+4三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可;
(2)首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可.
【解答】解：(1)a2﹣4a﹣b2+4
=a2﹣4a+4﹣b2
=(a﹣2)2﹣b2
=(a+b﹣2)(a﹣b﹣2);
(2)a2﹣ab﹣ac+bc=0，
∴a2﹣ab﹣(ac﹣bc)=0，
∴a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=0，
∴(a﹣b)(a﹣c)=0，
∴a﹣b=0，或者a﹣c=0，
即：a=b，或者a=c
∴△ABC是等腰三角形.
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键.
∴x﹣y=﹣2xy
将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得
=
=
=
= .
故答案为B.
【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可.
12.若x2+cx+6=(x+a)(x+b)，其中a，b，c为整数，则c的取值有( )
A.1个 B.2个 C.4个 D.8个
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，即可确定出c的取值个数.
【解答】解：x2+cx+6=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
可得c=a+b，ab=6，
即a=1，b=6，此时c=1+6=7;a=2，b=3，此时c=2+3=5;a=﹣3，b=﹣2，此时c=﹣3﹣2=﹣5;a=﹣1，b=﹣6，此时c=﹣1﹣6=﹣7，
则c的取值有4个.
故选C
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.
二、填空题(共7小题，每小题4分，满分28分)
13.计算3a2b3•(﹣2ab)2= 12a4b5 .
【分析】首先利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则求出即可.
【解答】解：3a2b3•(﹣2ab)2=3a2b3•4a2b2=12a4b5.
故答案为：12a4b5.
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键.
14.分解因式：a2b﹣b3= b(a+b)(a﹣b) .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解.平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
【解答】解：a2b﹣b3，
=b(a2﹣b2)，(提取公因式)
=b(a+b)(a﹣b).(平方差公式)
故答案为：b(a+b)(a﹣b).
【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解因式要彻底.
15.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，则PQ= 2 .
【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PQ，从而求得PQ的长.
【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP=∠CPO=∠POQ=15°，
∴∠BCP=30°，
∴PM= PC=2，
∵PQ=PM，
∴PQ=2.
故答案为：2.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质;解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PQ的长的问题进行转化.
16.如图，将一张长方形纸片折叠成如图所示的形态，∠CBD=40°，则∠ABC= 70° .
【分析】首先根据邻补角定义可得∠CBC′=180°﹣40°=140°，再根据折叠可得∠CBA=∠C′BA，进而得到答案.
【解答】解：∵∠CBD=40°，
∴∠CBC′=180°﹣40°=140°，
根据折叠可得∠CBA=∠C′BA，
∴∠ABC=140°÷2=70°，
故答案为：70°.
【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握图形翻折后哪些角是对应相等的.
17.如图，点E为等边△ABC中AC边的中点，AD⊥BC，且AD=5，P为AD上的动点，则PE+PC的最小值为 5 .
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出AB的长，连接BE，则线段BE的长即为PE+PC最小值.
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，且AD=5，
∴AB= = = ，
连接BE，线段BE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边AC的中点，
∴CE= AB= × = cm，
∴BE= = = =5，
∴PE+PC的最小值是5.
故答案为：5.
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.
18.若关于x的分式方程 无解，则m的值是 3 .
【分析】先把分式方程化为整式方程得到x=m﹣2，由于关于x的分式方程 无解，则最简公分母x﹣1=0，求得x=1，进而得到m=3.
【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2.
∵关于x的分式方程无解，
∴最简公分母x﹣1=0，
∴x=1，
当x=1时，得m=3，
即m的值为3.
故答案为3.
【点评】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解.当分式方程无解时可能存在两种情况：(1)原分式方程存在增根;(2)原分式方程去分母后，整式方程无解.本题中由于原分式方程去分母后，得到的整式方程为一元一次方程，必定有解，所以只有一种情况.
19.如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1.点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是 2 .
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系.AO=1，则OC=2.证明△AOP≌△COD求解.
【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP.
∴△ODC≌△POA.
∴AP=OC.
∴AP=OC=AC﹣AO=2.
故答案为：2.
【点评】解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上.
三、解答题(共5小题，满分56分)
20.解答下列各题：
(1)分解因式：4a2﹣8ab+4b2﹣16c2
(2)计算：(2a+b)(2a﹣b)+b(2a+b)﹣8a2b÷2b
(3)化简求值：( ﹣ )÷ ，其中x=﹣3
(4)解分式方程： ﹣1= .
【分析】(1)首先提公因式4，然后把前三项写成完全平方的形式，利用平方差公式分解;
(2)首先利用平方差公式以及单项式与多项式的乘法、单项式与单项式的除法法则计算，然后合并同类项即可;
(3)首先把括号内的分式的分母分解因式，把除法转化为乘法，然后利用分配律计算，最后进行分式的加减即可;
(4)首先去分母转化为整式方程求得x的值，然后进行检验即可.
【解答】解：(1)原式=4(a2﹣2ab+b2﹣4c2)
=4[(a2﹣2ab+b2)﹣4c2]=4[(a﹣b)2﹣4c2]
=4(a﹣b+2c)(a﹣b﹣2c);
(2)原式=4a4﹣b2+2ab+b2﹣4a2=2ab;
(3)原式=[ ﹣ ]÷
= • ﹣ •
= ﹣
=
=
=
=
=1;
(4)方程两边同时乘以(x+2)(x﹣2)得，x(x+2)﹣(x2﹣4)=8，
去括号，得x2+2x﹣x2﹣4=8，
解得：x=6，
检验：当x=6时，(x+2)(x﹣2)=8×4=32≠0.
则x=6是方程的解.
【点评】本题考查了分式的化简求值以及分式方程的解法，正确进行分解因式是关键，且要注意解分式方程时一定要检验.
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
【分析】(1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答.
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
【解答】证明：(1)∵AD∥BC(已知)，
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等)，
∵E是CD的中点(已知)，
∴DE=EC(中点的定义).
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴FC=AD(全等三角形的性质).
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF(全等三角形的对应边相等)，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF(已证)，
∴AB=BC+AD(等量代换).
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
22.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点.
【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证.
【解答】证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点.
【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识.辅助线的作出是正确解答本题的关键.
23.从2014年春季开始，我县农村实行垃圾分类集中处理，对农村环境进行综合整治，靓化了我们的家园.现在某村要清理一个卫生死角内的垃圾，若用甲、乙两车运送，两车各运15趟可完成，已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的3倍，求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?
【分析】设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运3x趟，根据两车各运15趟可完成总任务，列方程求解.
【解答】解：设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运3x趟，
根据题意得： + =1，
解得：x=20，
经检验：x=20是方程的解，且符合题意，
则20×3=60(趟).
答：甲车单独运完此堆垃圾需运20趟，乙车单独运完此堆垃圾需运60趟.
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验.
24.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=(x+2y)(x﹣2y)﹣2(x﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y﹣2)这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：a2﹣4a﹣b2+4;
(2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状.
【分析】(1)首先将a2﹣4a+4三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可;
(2)首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可.
【解答】解：(1)a2﹣4a﹣b2+4
=a2﹣4a+4﹣b2
=(a﹣2)2﹣b2
=(a+b﹣2)(a﹣b﹣2);
(2)a2﹣ab﹣ac+bc=0，
∴a2﹣ab﹣(ac﹣bc)=0，
∴a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=0，
∴(a﹣b)(a﹣c)=0，
∴a﹣b=0，或者a﹣c=0，
即：a=b，或者a=c
∴△ABC是等腰三角形.
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键.
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