线性代数——向量

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定义 1     个有次序的数 所组成的数组称为 维向量,这 个数称为该向量的 个分量,第 个数 称为第 个分量。

维向量可写成一行或者一列,分别称为行向量与列向量,也就是行矩阵和列矩阵。
维列向量

与 维行向量

总看做是两个不同的向量。

定义 1     给定向量组 ,对于任何一组实数 ,表达式 称为向量组 的一个线性组合, 称为这个线性组合的系数。

定义 2     给定向量组 和向量 ,如果存在一组数 ,使 则向量 是向量组 的线性组合,这时称向量 能由向量组 线性表示。

定理 1     向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩。

定义 3     设有两个向量组 及 ,若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示,则称向量组 能由向量组 线性表示。若 向量组 与向量组 能相互线性表示,则称这两个向量组等价。

定理 2     向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩,即

推论     向量组 与向量组 等价的充分必要条件是 ,其中 是向量组 和 组成的矩阵。

定理 3     设向量组 能由向量组 线性表示,则

定理 4     向量 能由向量组 线性表示出

定义 1     给定向量组 ,如果存在不全为0的数 ,使 则称向量组 是线性相关的,否则称它线性无关。

向量组 线性相关,也就是在向量组 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示。

定理 1     向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 的秩小于向量个数 ,向量组 线性无关的充分必要条件是 。

定理 2     (1) 若向量组 线性相关,则向量组 也线性相关。反言之,若向量组 线性无关,则向量组 也线性无关。
(2) 个 维向量组成的向量组,当维数 小于向量的个数 时一定线性相关。特别的, 个 维向量一定线性相关。
(3) 设向量组 线性无关,而向量组 线性相关,则向量 必能由向量组 线性表示,且表示式是惟一的。

推论     若向量组 线性无关 延伸组 线性无关
            若 线性相关 缩短组 线性相关
(向量组 , ,其中 ,称 为 的延伸组(或称 为 的缩短组))

定理 3     如果向量组 可由向量组 线性表示,而且 ,那么 线性相关。即如果多数向量组能由少数向量组线性表示,那么多数向量一定线性相关。

推论     若向量组 线性无关,且它可由 线性表示,则 。

定理 4     向量组 线性相关

定义 1     下列三种变换称为线性方程组的初等变换:
(1) 用一个非零常数项乘方程的两边
(2) 把某方程的 倍加到另一个方程上
(3) 互换两个方程的位置
线性方程组经初等变换化为阶梯型方程组后,每个方程中的第一个未知量通常称为 主变量 ,其余的未知量称为 自由变量

定义 2     向量组 称为齐次线性方程组 的基础解系,如果:
(1) 是 的解
(2) 线性无关
(3) 的任一解均可由 线性表示

定义 3     如果 是齐次线性方程组 的一组基础解系,那么对于任意常数 , 是齐次方程组 的通解。

定理 1     设齐次线性方程组 系数矩阵的秩 ,则 的基础解系有 个线性无关的解向量构成。

定理 2     非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等,及
若 ,则方程组有唯一解
若 ,则方程组有无穷多解

非齐次线性方程组 无解

定理 3     对非齐次线性方程组 ,若 ,且已知 是导出组 的基础解系, 是 的某个已知解,则 的通解为 其中 为任意常数。

定义 1     设 为 维向量的集合,如果集合 非空,且集合 对于向量的加法和乘数都封闭,那么就称集合 为向量空间。
所谓封闭,是指在集合 中可以进行向量的加法及乘数两种运算。具体的说,就是:若 ,则 ;若 ,则 。

定义 2     设 为向量空间,如果 个向量 ,且满足
(i) 线性无关
(ii) 中任一向量均可由 线性表示
那么向量组 就称为向量空间 的一个基, 称为向量空间 的维数,并称 为 维向量空间。

定义 3     如果在向量空间 中取定一个基 ,那么 中任一向量 可唯一的表示为
数组 称为向量 在基 中的坐标。

定义 1     设有 维向量


称为向量 与 的内积。

内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数。如果用矩阵表示:当 都是列向量时,有 。

内积具有下列性质(其中 为 维向量, 为实数)
(i)
(ii)
(iii)
(iv) 当 时, ;当 时, ;

在解析几何中,向量的数量积表示为 且在直角坐标系中有
维向量的内积是数量积的一种推广。

定义 2     令

称为 维向量 的长度(或范数)。
当 时,称 为单位向量。

向量的长度具有下述性质:
(i) 非负性
(ii) 齐次性
(iii) 三角不等式

定理 1     若 维向量 是一组两两正交的非零向量,则 线性无关。

定义 3     设 维向量 是向量空间 的一个基,如果 两两正交,且都是单位向量,则称 是 的一个规范正交基。

定义 4     如果 阶矩阵 满足 那么称 为正交矩阵,简称正交阵。
上式用 的列向量来表示,即是

亦即
这也就是 个关系式
于是可以得出:方阵 为正交阵的充分必要条件是 的列向量都是单位向量,且两两正交。

正交矩阵具有下述性质:
(i) 若 为正交阵,则 也是正交阵,且 或(-1)
(ii) 若 都是正交阵,则 也是正交阵。

定义 5     若 为正交阵,则线性变换 称为正交变换。
正交变换线段长度保持不变。

定义 1     设 是 阶矩阵,如果数 和 维非零列向量 使关系式 成立,那么,这样的数 称为矩阵 的特征值,非零向量 称为矩阵 对应于特征值 的特征向量。

式也可写成 这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 即

上式是以 为未知数的一元 次方程,称为矩阵 的特征方程,其左端 是 的 次多项式,记作 ,称为矩阵 的特征多项式。

设 阶矩阵 的特征值为 ,则有
(i)
(ii)

推论     若 是 的特征值,则 是 的特征值; 是 的特征值(其中 是 的多项式, 是 的多项式)。

定理 1     设 是方阵 的 个特征值, 是与之对应的特征向量,如果 各不相等,则 线性无关。

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定义 1     设 都是 阶矩阵,若有可逆矩阵 ,使 则称 是 的相似矩阵,或说矩阵 与 相似。对 进行运算 称为对 进行相似变换,可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵。

定理 1     若 阶矩阵 与 相似,则 与

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