Question

向量的加减法

Answer 1

一、向量的有关概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.记作 ,其中 是向量的起点, 是向量的终点.也可以记作 .

2.向量的模:向量 的大小亦即线段 的长度叫做向量的模,记作 (向量 的模记作 ).向量的模又叫做向量的长度.

3.单位向量:模为1的向量叫做单位向量.

4.零向量:模为0的向量叫做零向量,记作 .零向量的方向任意,所有的零向量都相等.

5.平行向量:方向相同或相反的向量叫做平行向量.向量 和 平行记作 .我们规定 与任一向量平行平行向量又叫做共线向量.

6.相等向量:模相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量 和 相等记作 .零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

7.相反向量:与 模相等,方向相反的向量,叫做 的相反向量,记作 . 和 互为相反向量.我们规定 的相反向量仍是 .于是任一向量与它的相反向量之和是零向量,即 .

8.向量的夹角:已知两个非零向量 和 ,作 , ,则 叫做向量 和 的夹角.向量 和 的夹角也记作 .

二、向量的运算

1.向量的加法:已知向量 , ,在平面内任取一点 ,作 , ,则向量 叫做向量 与 的和,记作 ,即 .

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

对于零向量和任一向量 ,有 .

以同一点A为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四边形 ,则以 为起点的对角线 就是 与 的和,我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

而前面根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.这个法则可以推广到多个向量的求和—多边形法则.

2.向量的减法:向量 加上 的相反向量,叫做 与 的差.即

求两个向量差的运算,叫做向量的减法.

因为 ,所以求 就是求这样一个量,它与 的和等于 .因此可得如下求 的作图方法.

已知 和 ,在平面内任取一点 ,作 , ,则 . 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量.

3.实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量,记作 ,它的模与方向规定如下:

(1) ;

(2)当 时, 的方向与 相同;当 时, 的方向与相反;当 时, .

4.向量的数量积:已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 叫做 与 的数量积,记作 ,即 并且规定,零向量与任一向量的数量积为 .向量的数量积又叫做内积.

设 , ,过点 作 垂直于直线 ,垂足为 ,则

叫做向量 在 方向上的投影,当 为锐角时,它是正值;当 为钝角时,它是负值;当 为直角时,它是0.当 时,它是 ;当 时,它是 .

因此,我们得到 的几何意义:数量积 等于 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积.

三、向量的运算法则

1.加法的交换律: ;

加法的结合律: .

2. ,

分配律: ;

分配律: .

3.数量积的交换律: , .

分配律: .

4.平方公式:

平方差公式:

四、向量的共线与垂直

1.不共线的四点 、 、 、 组成平行四边形的充要条件是 或 .

2.向量 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ,使得 .

3.两个非零向量 、 垂直的充要条件是 .

4.对于共线三点 、 、 一定存在实数 ,使得 ,若 、 是已知点,则点 位置由 确定, 时, 为 内分点; 时, 为 外分点; ,称 为 分 所成的比.并且有