Question

高等数学——导数与微分

Answer 1

定理 1     有限个无穷小的和也是无穷小

定理 2     有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

推论 1     常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积是无穷小；

定理 3     如果 ，那么
(1)
(2)
(3) 若又有 ，则：

推论 2     如果 存在，而 为常数，则

推论 3     如果 存在，而 是正整数，则

定理 4     如果 ，而 ，那么

和 都是同一自变量的变化过程中的无穷小，且 ， 是在这个变化过程中的极限，则有以下定义：

定理 1     和 是等价无穷小的充分必要条件为

定理 2     设 ，且 存在，则

准则 1     如果数列 、 及 满足下列条件：
(1) 从某项起，即 ，当 时，有
(2)
那么数列 的极限存在，且

准则 1'     如果
(1) 当 （或 ）时，
(2)
那么 存在，且等于

准则 2     单调有界数列必有极限

柯西极限存在准则     数列 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ，存在着这样的正整数 ，使得当 时，就有 。

应用 ：

结论 1     基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
注：
(1) 高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
(2) 数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

结论 2     一切初等函数在其定义区间内都是连续的
注：
(1) 初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

零点定理     设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ），那么在开区间 内至少有一点 ，使

介值定理     设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 ，那么对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使

设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 ；如果 与 之比当 时极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

极值的判别     设 在 处 阶可导，且 ，但 ，则当 为偶数时，

拐点的判别     设 在 处 阶可导，且 ，但 ，则当 为奇数时， 为曲线的拐点。

渐近线    
(1) 则函数存在渐近线 ；
(2) 则函数存在渐近线 ；
(3)
则函数存在渐近线

设函数 在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果增量 可以表示为 其中 是不依赖于 的常数，那么称函数 在点 是可微的，而 叫做函数 在点 相应于自变量增量 的微分，记作 ，即

结论 1     函数 在点 可微的充分必要条件是函数 在点 可导，且当 在点 可微时，其微分一定是

费马引理