Question

三角函数及周期公式推导

Answer 1

以∠A为例 令α=∠A
①正弦函数：对边比斜边，即：sin α=a/c
②余弦函数：邻边比斜边，即：cos α=b/c
③正切函数：对边比邻边，即：tan α=a/b
④余割函数：斜边比对边，即：csc α=c/a
⑤正割函数：斜边比邻边，即：sec α=c/b
⑥余切函数：邻边比对边，即：cot α=b/a

由上可得以下公式：

倒数关系：

商数关系：

平方差关系：

sin x

很显然，从图像上可以看出 sin x是一个奇函数，周期为2π，如果间隔半个周期π，则y值互为相反数。
所以我们能推导出以下公式：
sin（-α）= -sin α
sin（2kπ+α）= sin α
sin（π+α）= -sin α
sin（π-α）= sin α

cos x

tan x

公式说了这么多，其实不用都记住，你只要记住这几个函数图像怎么画，你就知道周期，你就知道谁是奇函数，谁是偶函数，那么这些公式就都能推出来了。当然，记住图像，你也就能看出增减区间，也就知道第几象限是正式负，就全都整明白了。

互为倒数的函数奇偶性一样

接下来，我们把正弦余弦函数放在一起看看

你会发现：
①把sin x图像向左平移π/2个单位长度，就能得到cos x函数的图像。
②把cos x图像向右平移π/2个单位长度，正好与sin x关于x轴对称，也就是互为相反数。
那么你就能推导出以下公式：

当然，正切和余切的也一样，不管谁移动π/2后，都会关于x轴对称，也就是互为相反数。
上面这四个公式一定要记住，我们对其扩展，给π/2乘以常数项K（k∈Z）

记住口诀： 奇变偶不变，符号看象限。
什么意思呢？奇偶指的是k是奇数还是偶数，变与不变，指结果sin是否要变cos，tan是否要变cot 。。。符号就是正负号，要看这个角在第几象限，α看做锐角。

符号看象限这里也有个口诀： 全正切余
什么意思呢？全正切余分别对应一二三四象限。也就是说：
第一象限： 全 部为正
第二象限： 正 弦为正，其余都为负
第三象限：正 切 为正，其余都为负
第四象限： 余 弦为正，其余都为负

我们试试：
k=2，偶数，不变。2*π/2 = π+α 为第三象限角。

k=4，偶数，不变。4*π/2 = 2π+α 为第一象限角。

k=3，奇数，变。3*π/2 = 3π/2+α 为第四象限角。

是不是有些公式就是前面提到的，所以说：一定要记好这四个关于π/2的公式，以及口诀，其它的都可以从这里推导。

其它常用公式传送门：
和角公式与倍角公式： https://www.jianshu.com/p/7bd712b0303d
积化和差与和差化积： https://www.jianshu.com/p/5cd9d20fb590